首先，推荐你先看下 wikipedia 上的这段介绍：
恩，我下面的解释内容上其实跟这段话无异，只是尽量用我的语言把它梳理一下。
条件概率是个定义，无需证明，我们要做的是去理解这个定义。定义用文字表述是：在另一事件发生的前提下的某事件发生的概率；这句话的数学意义：假设已知事件 A，B，和他们所在的总事件空间 Omega，求事件 B 在 事件 A 发生的这个前提下发生的概率。
我们用 P(A) 与 P(B) 来表示在总时间空间 Omega 里 事件 A 与 B 各自发生的概率。
在总事件空间里，事件 A 与 B 同时发生的概率是 P( A 交 B )。前提条件“事件 A 发生”的介入，实际上是改变（缩小）了要考察的事件空间，也就是说，我们要考察的不再是总事件空间 Omega，而是事件 A 发生的空间，这时候，事件 A 与 B 同时发生的概率便被“调整”为 P( A 交 B ) / P(A)，而这正是我们想要知道的事件 B 在 事件 A 发生的这个前提下发生的概率，即：
P(B | A) = P( A 交 B ) / P(A)，P (A) 不为零。
有关这个“除法”的计算步骤，wikipedia 给出了一个用连续密度函数做的解释，不知道是不是能解决你对此的疑惑。举个也许不大恰当的例子：在太平洋里随意扔一个球去捞，跟家附近的游泳池里随意扔一个球去捞，是不是后者会简单得多？事件空间缩小后，那些我们不关心的事件都被过滤没了，所以我们再去观察某事件发生的概率，这个概率必然变大。
另外，若已知 A 与 B 统计独立，则有 P( A 交 B ) = P(A) * P(B) ，有关这个定义可参考：
(probability_theory)